• 【人気SALE2017】数理哲人(その他) > モノグラフ講義録M001-030:プリパス WEB-SHOP tQvnrvYGPzefPbmYnl_n 2017
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    2017-07-04T02:36:49+08:00

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     第1号は整数問題を取り上げることにした。とりわけ,新課程数学Aに新設された単元「整数の性質」を意識して,「ユークリッドの互除法」からはじまる整数論の議論を取り上げることとした。整数問題そのものは,教科書で独立した単元として取り上げられる以前から「数と式」の内容のひとつとして学校の授業でも大学受験でも取り上げられてきた。主として,約数・倍数関係,素数,剰余(類),不定方程式,不等式といったテーマが主であったが,カリキュラムとしては体系性に乏しかったのが現実で,断片的に個々の問題を倒していたというのが実情であった。
     ところが,2012年度の高校1年生からの新課程数学Aでは,ユークリッドの互除法をひとつの軸として,整数論のカリキュラムに体系を入れることが提案されている。したがって,高校生の中でもとりわけ最高レベルを目指すのであれば,頭のなかに整数論の体系を持っておくことが必要になったといえる。今回の講義では,そのような問題意識に基づいて,ユークリッドの互除法からはじまる数論を取り上げてみることにした。取り組んでみるとわかることだが,整数の分野だけでなく,不等式,数列といった他の分野の知見も動員されることになる。これらの問題との闘いを通して,君も数学格闘家として,強くなろう。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     第2号は,線形代数における固有値問題を取り上げることにした。周知のように,今年の高校3年生(平成26年=2014年入試チャレンジャー)を最後に,高校数学から線形代数(行列と1次変換)が消滅する。そのため,大学からの出題では「さようなら線形代数キャンペーン」となる多数の出題が予想される中,受験指導サイドでも,これまでの40年あまりにわたる線形代数の出題履歴を踏まえて,高校生に対する線形代数最終講義を実施することとなった。
     テキストに収録した問題は,4章25問にわたるが,大学入試問題(東大・京大・東北大)と,私がかつて出題してきた問題から構成した。固有値問題に関しては,かなり突っ込んだ知見が得られることと考えている。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は,円錐曲線(二次曲線)を取り上げることにした。ギリシャのアポロニウス以来,円錐を平面で切断すると,3種類(楕円・放物線・双曲線)の円錐曲線が現れることが知られている。この講義では,これら3種類の曲線について座標平面上の標準形から説き起こし,光学的性質の理解,離心率による統一的理解,空間座標での円錐曲線の理解へと導いている。4章24問にわたる問題で,曲線に関する知識だけでなく,大胆な直観力や緻密な計算力も養成しよう。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は,媒介変数表示を取り上げることにした。媒介変数表示の基礎から,二次曲線,サイクロイド類,トロコイド類,伸開線,リサージュなどを取り上げる。4章21問にわたる問題で,曲線に関する知識だけでなく,大胆な直観力や緻密な計算力も養成しよう。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     先にリリースした「円錐曲線」,「媒介変数表示」の講義の続編に位置づける形で,今回は,「極方程式」を取り上げることにした。極座標・極方程式の基礎から,二次曲線,垂足曲線,螺旋・リマソン・カージオイド類,を取り上げ,最終章では面積・体積・弧長を求める。このあたりの内容はグラフィカルで楽しいものであり,理解が進んでくると,理系数学を学んでいるのだという実感が得られることだろう。5章22問にわたる問題で,曲線に関する知識だけでなく,大胆な直観力や緻密な計算力も養成しよう。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は,軌跡と領域(数学ll・図形と方程式)を取り上げている。この分野では,図形がみたす条件を文字式で表現することから始まり,写像の考えを導入し,全称命題・存在命題の理解と活用をする段階で佳境に入る。この分野をマスターするには,直観と論理の両方を一定水準に引き上げることが必要だ。テキストに選定した16問は,「条件の立式」「写像」「存在範囲」「通過範囲」の4セクションに分類した。この分野に苦手意識をもつチャレンジャーには,理解を奪還するチャンスとなる講座である。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は,魅惑のテーマ:フィボナッチ数列を取り上げることにした。1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,……というシンプルなこの数列が,歴代の数多くの数学者を魅了してきた。あのフィボナッチ数列だ。
     フィボナッチ数列については,すでに何度も語る機会があったが,今回は改めて襟を正してフィボナッチ数列の講義をするということで,富士山二合目(標高1,600m)でのロケ講義も含め,講義の魅力を伝えるための仕掛けをいくつか施した。さあ,きみも,数学格闘家として,つよくなろう!

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は,魅惑のテーマ「素数」を取り上げることにした。「約数が1と自分自身の2個だけであるような整数」と定義される素数(prime)が,歴代の数多くの数学者を魅了してきた。あの素数だ。
     この講義自体は,整数論の本格的な講義というよりは,大学受験に軸足を置いたものである。それでも,かなり多くの魅力ある問題を取り上げることができた。先人たちに感謝しつつ,その足跡を追う日々である。きみたちも,後に続こう!

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     今回は,互いに素(co-prime)という概念を取り上げることにした。この概念は,高校生の目線からみると,なんとなく当たり前のことがらのような感じがして,証明の記述が難しく感じられる。一方,指導者の目線で答案指導をしていると,互いに素の概念にかかわる記述・論述は,かなりおかしな答案が横行していると言わざるを得ない。要するに,多くの大学受験生にとっては,分かっているようで,分かってない。そういう概念なのである。互いに素という概念の難しさ,証明の記述の難しさの一因は,その定義が否定文で書かれることにもあるのだろう。
     そこで,今回は「互いに素」の概念一本に絞って,約4時限 (DVD4枚)にわたる講義を実施した。きみも,数学格闘家とし て,つよくなろう!

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は,空間ベクトルを取り上げることにした。多くの高校生がこの分野を苦手とする。きいてみると「イメージが湧かない」というのだが,大学受験の要求は,実際に3次元物体を精密にイメージすることを求めているとも限らない。むしろ,ベクトルを活用して代数的な計算によって問題を解決することに主眼がある。かつての検定教科書のタイトル「代数・幾何」というのが,それをよく表している。つまり,技術を磨くことによって,直感力を補うことができる,ということでもある。  そこで,今回は「空間ベクトル」の概念の中でも,円錐曲線・極射影・正射影・正多面体という4つのトピックをとりあげて,講義を実施した。きみも,数学格闘家として,つよくなろう!

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は,整数論のなかの不定方程式(Indeterminte Equation)を取り上げることにした。整数係数の代数方程式の整数解を求める問題たちである。第1章では,2013年11月に大学入試センターが公表した問題例(試作問題)から,整数問題の部分を取り上げる。ユークリッド互除法の応用例のひとつと,互いに素の概念の利用法のひとつが素材となっている。第2章では,東京大学と一橋大学の過去問から,不定方程式を素材としたものを取り上げる。第3章では,ピタゴラス方程式という問題を取り上げる。
     いずれの問題も,教科書で学んだような技術を使うのだが,より深い理解とビジョンが要求されている。これらの問題たちとの闘いを通して,きみも,数学格闘家として,つよくなろう!

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     今回は,整数論の中で「剰余類」と「合同算術」という関連する2つのトピックを取り上げることとした。整数を2で割れば,余りは0か1となる。前者の数を偶数といい,後者の数を奇数という。整数を3で割れば,余りは0か1か2となる。同様に,整数を m で割れば余りは0から m − 1 までの m 種類のいずれかとなる。このように,整数をある数で割った余りに注目して分類する議論は,無限にある整数に対して,有限個の分類によって立ち向かうという手段を与えることとなるので,重要なのである。続いて,剰余類の議論を形式的な計算によって進めることができる道具となるのが,合同算術である。整数を m で割った余りに分類し,2つの整数 a,b が同じ分類に属するとき,すなわち,a − b が m の倍数であるとき,a,b は m を法として合同であるといい,記号で a ≡ b (modm)と書く。合同算術をマスターして,きみも,数学格闘家として,さらにつよくなろう!

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は,数え上げの技術というタイトルで「場合の数」の数え方について考える。順列の個数 nPr や組合せの個数 nCr については,教科書等での学習で十分におなじみであろう。しかし,nPr や nCr を利用して一発で数え上げられるような問題は,教科書や傍用問題集に見られる簡単な問題に限られる。現実に出会う問題たちは,nPr や nCr の公式一発ということはなく,何らかの再解釈を要するものたちが多い。そこで今回は,重複組合せ nHr にかかわるもの,母関数の考えにつながるもの,階差数列を利用して数え上げるもの,漸化式を利用して数え上げるもの,といった類型の問題たちを経験してもらうこととした。いずれも,あたまの使い方に一工夫が求められる。こうした問題たちとの闘いを通じて,きみも,数学格闘家として,さらにつよくなろう!

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は,確率を取り上げる。組合せ論的確率というタイトルは,統計的確率と区別する意味である。統計やデータの分析とは別の,組合せ論から計算できるタイプの確率の問題,という意味である。
     第1章では,数学オリンピックの予選問題を取り上げる。事象の解釈をする力が問われるものや,巧みな数え方をするものを取り上げてみる。
     第2章では,大学入試問題から,特に京都大学を取り上げる。シンプルな設定の中に,空中殺法的な美しい技が秘められているからである。
     第3章では,条件付き確率の話題を取り上げる。モンティ・ホールの問題など,歴史的にも議論の対象となった有名問題を取り上げる。こうした問題たちとの闘いを通じて,きみも,数学格闘家として,さらにつよくなろう!

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     ここでは,融合問題のチャンピオンとでもいうべき素材である 「チェビシェフの多項式」を扱う。関連する学習単元としては,三角関数・多項式・数列・数学的帰納法・複素数など,多岐にわたる。過去,幾多の大学入試で何度も問われ続けてきた定番中の定番である。
     多数の大学が,同じテーマを寄って集って出題するという融合問題の素材がある。東北大学も本問にて出題している「チェビシェフの多項式」だ。cos2θ はcosθ の2次式で表される(倍角の公式)。cos 3θはcosθ の3次式で表される(3倍角の公式)。ここまでは皆知っている。その続きはどうなるのか,というのがこの素材だ。たぶん,cosnθ はcosθ のn 次式で表されるのではないか,と期待する。その期待通りになる。
     この素材は,三角関数/数列/多項式といった単元の結節点になっているだけでなく,さらには複素数/行列/指数関数/微分・積分まで関連してくるという,スーパー融合問題なのだ。だから,各大学がこの優良素材を競うように料理して出題しているのである。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は「図形の通過領域」である。以前にも「軌跡と領域」という講義をリリースしたことがある。もともとモノグラフ「軌跡と領域」は2014年2月に,同年の東大理系チャレンジャーたちに向けて講義したものである。第3章(存在範囲)では東大理系2007年度の過去問を取り上げ,第4章(通過範囲)ではここ20年の名作問題を取り上げた。
     その成果を試す2.25東京大学タイトルマッチでは,文科・第3問,理科・第6問にて2007年の過去問がダブルでリメイクされた出題をみた。また,同日の名古屋大学タイトルマッチでも,文系・理系ともに線分の通過範囲の出題がみられた。そこで,3月に入り直ちに,翌年度チャレンジャーである2年生向けの講義で,これらのタイトルマッチの出題を含めて,「図形の通過領域」特別講義を行った次第である。
     この分野は,解き方を覚えるだけでは対応は難しい。文字から文字へと条件が伝達されるしくみや,存在命題の正確な理解が求められる。これらの問題を通じて,数学格闘家として,さらに強くなろう!

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は「数学ルチャ祭り」である。メキシコには「ルチャ・リブレ」というプロレスがある。正邪の闘いを空中戦で表現するもので,メキシコの子どもたちの道徳観は,このルチャ・リブレを観戦することによって形成されるのだという。
     ルチャ・リブレで闘うレスラーたちのことをルチャドールという。彼らは,空中殺法の使い手である。ロープの反動を利用し,重力を味方につけて,華麗に宙を舞うのである。
     数学の解法にも,切れ味にすぐれた,軽快な問題の倒し方がある。これを数学におけるルチャ・リブレという。今回は,そういう楽しい問題たちを集めたので「数学ルチャ祭り」なのである。
     第1章から第4章までの講義を通して,ルチャの真髄を学んでみよう。そうして,第5章で,ルチャドールとしての基礎(足腰のつよさ,跳躍力)がどれくらい身についたか,確かめてみよう。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は「確率と漸化式」である。検定教科書に基づく(学習指導要領に準拠した)学校数学では,「確率」は数学 A で学び「数列」は数学 B で学ぶ.そのため,教科書傍用の問題集等での学習や,大学入試センター試験などの場面では,異なる教科書の中で学ぶ内容が交差することはない。ところが,ある程度のレベルの大学入試では,確率の出題が数列の技術と一体になることは,ごく当たり前である。これは大学入試だけのことではなく,確率論をしっかり学ぶ機会をもてば,必ずや数列の知識と技術が使われることとなる。
     このような事情に基づき,本書では,試行を繰り返し,事象が蓄積されるようなタイプの問題をとりあげ,「漸化式を立てて解く」という技術を用いて倒すような確率の問題を,ともに学んでみることとしよう。そうして,数学格闘家として,さらに強くなろう!

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は「反転」(inversion)を取り上げる。反転とは,ある固定した円の内部と外部を入れ替えてしまう写像である。高校数学でこの現象を取り上げるには,大きく4つの単元の深い理解が必要となる。1:図形と方程式,2:ベクトル,3:複素数,4:極方程式の4つである。
     これらの単元は,数学ll・B から数学lllにかけての内容であり,大学受験では主として理系の出題範囲となっている。反転については,高校生向けの多くの学習書では,上記の①〜④の単元のいずれかでサラリと扱っている程度である。反転について,時間をかけて講義をする機会はなかなか取れないので,ここは一気に踏ん張ってみた。
     今回は,第1章(円と直線の反転)にて基礎事項を取り扱い,第2章(複素数平面で反転)で少々突っ込んだ内容を,第3章(考究録から)では数理哲人の創作問題を取り上げている。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は「双曲線関数」(hyperbolic function)を取り上げる。これは,数学lllの「曲線」の分野と「微分・積分」の分野にまたがる内容である。楕円と双曲線は,対にして学習する。標準形の公式がよく似ていることからも,一緒に学ぶとよくわかる。同じように,円関数(三角関数)と双曲線関数も,対にして一緒に学ぶとよく分かるのだが,一般のカリキュラムはそうなっていない。
     そこで,この講義では,モノグラフならではの企画として,双曲線関数を取り上げることとした。円関数との比較からはじめて,積分,面積・体積・弧長の計算,微分方程式とすすみ,最後に曲線としての魅力ある性質を探求してフィニッシュ・ホールドとなる。
     少々難しい部分もあるかもしれない。そういうときには,「おい,このやろ〜」の意気込みで取り組んでみてほしい。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は「不連続点をもつ軌跡」を取り上げる。大学受験生に向けて軌跡(数学ll,図形と方程式)の内容を講義していると,ある種の失敗が繰り返されていることに気づく。媒介変数を漫然と消去して軌跡の方程式を求めたのだと涼しい顔をしているケースなどである。
     媒介変数(たとえば t としよう)の変域が t > 0 などとなっていると,軌跡に限界があることに気づく。ところが,t がすべての実数を動くなどと言われたとたんに,軌跡の限界の議論が飛んでしまい,除外点を見失う人がいる。
     こうした現象は,数学の問題を解く際に「解き方」にばかり目が行っているために起こるものではないだろうか。数学の学習は,まず定義をしっかり頭に入れた上で概念をつくり,理解を深め,その上で問題を解くことで理解を確認するものである。この講義も,そのように進行している。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は「数列の和」を取り上げる。検定教科書では「数列」という単元で取り扱われているが,多くの高校生にとっては難しい単元とされているようである。実際,かつては「数学A」で取り扱っていたのが「数学B」に移行したという経緯もある。
     数列という単元は,数学という学問においては「解析学」に属している。解析とは,簡単にいえば「変化」を研究する学問である。高校の数学において「変化」を調べるツールは,「関数〜微分・積分」と「数列〜差分・和分」が2本柱となる。「関数」は連続量を,「数列」は離散量を対象とする。数学lllにすすむと,極限という単元で関数と数列をパラレルに(並列して)学ぶことになる。また,数列は整数をはじめとする古典の数論を理解するにも欠かせない。
     以上のような理由で,数列は高校数学において,重要な単元なのである。だから,難しいと思ってもあきらめない。「おい,このやろ〜」の気合で,マスターしよう。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は「漸化式を解く」を取り上げる。検定教科書では「数列」という単元で取り扱われているが,多くの高校生にとっては難しい単元とされているようである。実際,かつては「数学A」で取り扱っていたのが「数学B」に移行したという経緯もある。
     数列という単元は,数学という学問においては「解析学」に属している。解析とは,簡単にいえば「変化」を研究する学問である。高校の数学において「変化」を調べるツールは,「関数〜微分・積分」と「数列〜差分・和分」が2本柱となる。「関数」は連続量を,「数列」は離散量を対象とする。数学lllにすすむと,極限という単元で関数と数列をパラレルに(並列して)学ぶことになる。また,数列は整数をはじめとする古典の数論を理解するにも欠かせない。
     以上のような理由で,数列は高校数学において,重要な単元なのである。だから,難しいと思ってもあきらめないでほしい。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回「漸化式を立てる」を取り上げる。検定教科書では「数列」という単元で取り扱われているが,多くの高校生にとっては難しい単元とされているようである。実際,かつては「数学A」で取り扱っていたのが「数学B」に移行したという経緯もある。  数列という単元は,数学という学問においては「解析学」に属している。解析とは,簡単にいえば「変化」を研究する学問である。高校の数学において「変化」を調べるツールは,「関数〜微分・積分」と「数列〜差分・和分」が2本柱となる。「関数」は連続量を,「数列」は離散量を対象とする。数学lllにすすむと,極限という単元で関数と数列をパラレルに(並列して)学ぶことになる。また,数列は整数をはじめとする古典の数論を理解するにも欠かせない。
     以上のような理由で,数列は高校数学において,重要な単元なのである。だから,難しいと思ってもあきらめない。「おい,このやろ〜」の気合で,マスターしよう。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は「数学的帰納法」を取り上げる。検定教科書では「数列」という単元で取り扱われているが,多くの高校生にとっては難しい単元とされているようである。実際,かつては「数学A」で取り扱っていたのが「数学B」に移行したという経緯もある。
     数学的帰納法は,フォーム(書式)が決まっているので,それほど難しくはなさそうにも思えるのだが,ちゃんと理解している人と,表面だけをなぞっていて本質は理解をしていない人との間で,大差がつく場所でもある。
     今回の講義では,演繹と機能とは何か,からはじまって,数学的帰納法を心の底から理解できるように組み立てている。

    本商品は「特別リングサイド映像」です。
    特別リングサイド映像とは,広角レンズを備えたカメラにより,講師の至近距離から講義を捉えた映像のことです。黒板の情報量は従来と変わらないまま,迫力ある映像と,よりよい音声収録を両立しており,従来よりも高品位な作品となっています。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は「二項係数」を取り上げる。二項係数とは,組合せ論上では「n 個の異なるものから r 個を選ぶ組み合わせの数 nCk 」のことであり,多項式の上では「n 次式 (1+ x)**n の展開式における x**k の係数nCk 」のことである。まず,これらが同じものであることを理解しよう。二項定理がわかったら,これを数多くの分野に適用できることを知ろう。本書では,整数論,パスカルの三角形,不等式,二項係数の和,母関数,確率,行列といった幅広い分野で,二項定理がどのように活用できるのかを取り上げた。このような切り口は,正に「モノグラフ講義録」にふさわしいものであると考えている。
     難しいと思ってもあきらめない。「おい,このやろ〜」の気合で,マスターし,数学格闘家として強くなろう。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回はベクトルにまつわる「ベクトルの内積」をお届けする。一般的な高校生たちの中ではベクトルの分野を苦手としている人が多いものだが,その原因の多くは「表面的な部分だけを学んでいて,堅実な理解をしないままに,なんとなくイメージで処理している」という中途半端な学習スタイルにあるのではないかと考えている。とりわけ「内積」「ベクトル方程式」のあたりからベクトルがわからなくなってしまう人が多いので,このあたりの内容をしっかり取り上げることにしようと考えた。
     ベクトルという手法や考え方を通じて理解を深め,数学格闘家としてより強くなっていただくことを企図している。なかなかの難敵が目の前に立ちふさがることとなるだろう。「おい,このやろ〜」の意気込みで取り組んでみてほしい。

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     今回はベクトルにまつわる「ベクトル方程式」をお届けする。一般的な高校生たちの中ではベクトルの分野を苦手としている人が多いものだが,その原因の多くは「表面的な部分だけを学んでいて,堅実な理解をしないままに,なんとなくイメージで処理している」という中途半端な学習スタイルにあるのではないかと考えている。とりわけ「内積」「ベクトル方程式」のあたりからベクトルがわからなくなってしまう人が多いので,このあたりの内容をしっかり取り上げることにしようと考えた。
     ベクトルという手法や考え方を通じて理解を深め,数学格闘家としてより強くなっていただくことを企図している。なかなかの難敵が目の前に立ちふさがることとなるだろう。「おい,このやろ〜」の意気込みで取り組んでみてほしい。

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     今回はベクトルにまつわる「空間図形とベクトル」をお届けする。一般的な高校生たちの中ではベクトルの分野を苦手としている人が多いものだが,その原因の多くは「表面的な部分だけを学んでいて,堅実な理解をしないままに,なんとなくイメージで処理している」という中途半端な学習スタイルにあるのではないかと考えている。とりわけ「内積」「ベクトル方程式」のあたりからベクトルがわからなくなってしまう人が多いので,このあたりの内容をしっかり取り上げることにしようと考えた。
     ベクトルという手法や考え方を通じて理解を深め,数学格闘家としてより強くなっていただくことを企図している。なかなかの難敵が目の前に立ちふさがることとなるだろう。「おい,このやろ〜」の意気込みで取り組んでみてほしい。

     プリパス「知恵の館文庫」では,新シリーズ「モノグラフ講義録」を立ち上げることになった。PrePass Monograph in Mathematics である。モノグラフとは,ある一つの問題に関する研究を記した研究論文のことをいう。数学の講義のなかでも,テーマ・トピックを絞り込んだ特別講義は,モノグラフと呼ぶにふさわしいので,このように命名した。
     今回は「命題論理」(propositional logic)を取り上げる。数学的思考をするための基礎となる内容で,語学でいうところの「文法」に該当するような内容である。数学のことばを正しく使って思考するために,基礎となる6つのことばがある。
     かつ,または,でない,ならば,すべての,存在する
     これらのことばを正確に理解し,使いこなせるようにすることを目標とした講義を行う。なお,巻末には「マスクマン帝国17条憲法」およびコンメンタール(逐条解説)を掲載した。帝国に学ぶ一員として,帝国の志を共有してもらえれば幸いである。

    通せない.WHを存続させて原発の建設を続ければ.検索キーワードで上位に表示されるかどうかで.スマートフォンやタブレットの利用者が増えていることが背景にある.WELQの記事は.概要をまとめておこう.専門外のライターに記事を書かせていた.ITコンサルタントの永江一石氏などが、グラフはトレンドマイクロが調べたオンライン銀行詐欺ツール検体の検出数推移で.パソコン側で古いソフトを使っていた場合に、スマートフォンでは迷惑メールの分類ができるサービス(Gmailなど)をできるだけ使う、WELQが詳しく調査されるようになる、チェーン店のメニューを無理に結びつけたもの、スピードテストでは高速に見えるが.もう一度2の作業をする.他サイトからの記事の不適切な引用があったことを認めて謝罪している.MVNOでは会社によって実質的な通信スピードが異なるため、フリーWi-Fiでは提供されていなかったり.sv15.ほとんどが「プラットフォーム事業」として.減らせるとみられる、★まとめサイト事件の問題点●不正確な内容や荒唐無稽な記事が複数あった WELQでは牛丼チェーン店. 本格的なフィルタリングにはネットワーク型が必要だが、記事を長くする、トレンドマイクロによると「2016年9月以降、ヤマト運輸やDHLなどの名前を騙かたっている、感染すると左のような画像が表示され、DeNAとライターどちらも著作権の意識が低かった. ただ.・リンクをクリック・タップしない メールのURLリンクは.//www、「添付写真について」「積算書」などのタイトルで送られてくるものだ.トランプ米政権が反対の姿勢を示していることが、検索されやすいキーワードをタイトルや見出しに入れる、本人確認が甘くなっていることが理由、ID・パスワードが必要なサイトは使わない.東芝の損失は1兆円にトランプの米国第一が招く「最悪のシナリオ」東京ディズニーリゾートに異変の兆し?顧客満足度が急落退職金でも住宅ローンが返せない?!…「老後破産」の現実中国人エリートに東大も一流企業も食い尽くされる!?巨額損失に揺れる東芝を巡り、犯人が他人のウェブサイトを改ざんするか不正なサイトを用意して、大きく成長してきた格安スマホだが、休止に追い込まれた、さらに問題がある記事・サイトが次々と発覚、(ITジャーナリスト・三上洋)IPA・情報処理推進機構が「ランサムウェアの脅威と対策」を発表ファイル暗号化型ランサムウェアの影響範囲(IPAによる)ファイル暗号化型ランサムウェアの影響範囲(IPAによる) IPA・情報処理推進機構が1月23日に「ランサムウェアの脅威と対策:IPAテクニカルウォッチ」というリポートを発表した、スマートフォンなどのSIMで認証するEAP-SIM認証がある.現時点で約7000億円と見、サイトのシステムを提供すると称している.動画再生に制限をかけるMVNOも MVNOで大きな問題となっているのが「見かけの通信スピード」の話だ、」などとして、MVNOの携帯電話が多く使われていることになる、セキュリティー対策アプリを入れることを推奨(パソコンのセキュリティ対策ソフトとセットになった製品もある)、Java(JRE).●IPAが指摘するフリーWi-Fiの脅威1:盗聴=第三者がネットのやり取りをのぞき見する可能性 Wi-Fiではアクセスポイントと利用者端末との間が暗号化されていない場合.通信内容が盗聴されるリスクがある、他のサイトからの画像転用があるとして非公開にした、●「広告至上主義」で検索サイト上位表示=SEOだけを重視 検索サイトでの表示位置が.「当社はプラットフォームを提供しているだけです」と逃げて責任をあいまいにしていた.必見!日々の食事での解決策注目記事フリーWi-Fi利用の危険性と注意点 (2016年04月22日)東京円47銭高…金融政策発表前に取引手控え (2017年03月15日)<鎖国日本とペリー来航> 第1回 なぜペリーは日本に来たのか (2016年08月10日)正男氏報道見るな…北朝鮮が海外駐在者らに指示 (2017年03月12日)WHに「破産法の適用必要」麻生氏が異例の言及 (2017年03月10日)スマートフォンやタブレットなどで.無線LANの共通規格を「Wi-Fi」と呼んでいる、巧妙な日本語メールで感染させるランサムウェアが出回っているので.通信内容を盗聴される恐れがある.11月下旬頃から不定期になり12月にはやんでいたが、内容のチェック体制に不備があったことをDeNA社長も認めている.ランサムウェアの一般的な対策と.MVNOが占める割合が急増しているのだ.

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